Question

7．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，面積為S，已知acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$b
（1）求證：a、b、c成等差數(shù)列；
（2）若B=$\frac{π}{3}$，S=4$\sqrt{3}$ 求b．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化簡，再利用二倍角的余弦函數(shù)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式變形，整理后再利用正弦定理化簡，利用等差數(shù)列的性質(zhì)判斷即可得證；
（2）利用三角形面積公式列出關(guān)系式，把sinB與已知面積代入求出ac的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，整理得出b的值即可．

解答 解：（1）由正弦定理得：sinAcos²$\frac{C}{2}$+sinCcos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$sinB，
即sinA•$\frac{1+cosC}{2}$+sinC•$\frac{1+cosA}{2}$=$\frac{3}{2}$sinB，
∴sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinB，即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，
∵sin（A+C）=sinB，
∴sinA+sinC=2sinB，
由正弦定理化簡得：a+c=2b，
∴a，b，c成等差數(shù)列；
（2）∵S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac=4$\sqrt{3}$，
∴ac=16，
又b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac，
由（1）得：a+c=2b，
∴b²=4b²-48，即b²=16，
解得：b=4．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．