Question

13．已知拋物線的方程為y²=4x，過其焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且|AF|=3，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOF的面積和△BOF的面積之比為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 如圖所示，F(xiàn)（1，0）．由|AF|=3，可得x_A+1=3，解得x_A，代入拋物線方程可得${y}_{A}^{2}$=4×2，解得y_A．可得直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立可得y_B．利用△AOF的面積和△BOF的面積之比=$\frac{|{y}_{A}|}{|{y}_{B}|}$即可得出．

解答 解：如圖所示，F(xiàn)（1，0）．
∵|AF|=3，∴x_A+1=3，解得x_A=2．
代入拋物線方程可得${y}_{A}^{2}$=4×2，解得y_A=$2\sqrt{2}$．
∴直線AB的方程為：$y=\frac{2\sqrt{2}-0}{2-1}（x-1）$，化為y=2$\sqrt{2}$x-2$\sqrt{2}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2\sqrt{2}x-2\sqrt{2}}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為$\sqrt{2}{y}^{2}-2y-4\sqrt{2}$=0，
∴$2\sqrt{2}{y}_{B}$=-4，
解得y_B=-$\sqrt{2}$．
∴△AOF的面積和△BOF的面積之比=$\frac{|{y}_{A}|}{|{y}_{B}|}$=2．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題、三角形面積之比，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．