Question

1．如圖，等腰梯形ABCD的底邊分別為6和4，高為3．
（1）求等腰梯形外接圓的方程；
（2）求外接圓的坐標和半徑長．

Answer 1

分析 【解法一】（1）建立直角坐標系，求出圓的圓心與半徑，寫出外接圓的標準方程；
（2）由（1）寫出外接圓的圓心坐標與半徑長．
【解法二】（1）建立直角坐標系，寫出點A、B、C的坐標，設(shè)出圓的一般方程，利用待定系數(shù)法求出圓的方程；
（2）根據(jù)圓的方程，求出圓的圓心與半徑長．

解答 解：【解法一】（1）以下底AB為x軸，中點為原點O建立如圖坐標系，

則點C的坐標為（2，3），點B的坐標為（3，0），
作BC中垂線交y軸于點M，則M為外接圓的圓心；
設(shè)M坐標為（0，y），
∵MB=MC，
∴（0-3）²+（y-0）²=（0-2）²+（y-3）²，
解得y=$\frac{2}{3}$，
∴M點坐標為（0，$\frac{2}{3}$），
∴等腰梯形外接圓的半徑為
r=|MC|=$\sqrt{{（0-2）}^{2}{+（\frac{2}{3}-3）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{85}}{3}$，
∴外接圓的方程為x²+${（y-\frac{2}{3}）}^{2}$=$\frac{85}{9}$；
（2）由（1）知，外接圓的圓心坐標為（0，$\frac{2}{3}$），
半徑長為r=$\frac{\sqrt{85}}{3}$．
【解法二】（1）以下底AB為x軸，中點為原點O建立如圖坐標系，

則點C的坐標為（2，3），點B的坐標為（3，0），A（-3，0），
設(shè)圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，且過點A、B、C，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9-3D+F=0}\\{9+3D+F=0}\\{4+9+2D+3E+F=0}\end{array}\right.$，
解得D=0，E=-$\frac{4}{3}$，F(xiàn)=-9；
∴圓的方程為x²+y²-$\frac{4}{3}$y-9=0；
（2）根據(jù)圓的方程，得；
圓的圓心是M（0，$\frac{2}{3}$），
半徑為r=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{0}^{2}{+（-\frac{4}{3}）}^{2}-4×（-9）}$=$\frac{\sqrt{85}}{3}$．

點評 本題考查了求圓的方程的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)根據(jù)題意，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担�是基礎(chǔ)題目．