Question

5．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=BC=2，AC⊥BC，點S是側(cè)棱AA₁延長線上一點，EF是平面SBC與平面A₁B₁C₁的交線．
（1）求證：EF⊥AC₁；
（2）求四棱錐A₁-BCC₁B₁的體積．

Answer 1

分析 （1）由面面垂直的性質(zhì)得出BC⊥平面AA₁C₁C，根據(jù)BC∥平面A₁B₁C₁得出BC∥EF，故而EF⊥平面AA₁C₁C，從而得出EF⊥AC₁；
（2）取CC₁中點O，連接A₁O，則可證A₁O⊥平面BB₁C₁C，底面BB₁C₁C是正方形，從而得出棱錐的體積．

解答 證明：（1）∵側(cè)面AA₁C₁C⊥底面ABC，側(cè)面AA₁C₁C∩底面ABC=AC，AC⊥BC，BC?平面ABC，
∴BC⊥平面AA₁C₁C，
∵BC∥B₁C₁，BC?平面A₁B₁C₁，B₁C₁?平面A₁B₁C₁，
∴BC∥平面A₁B₁C₁，
又BC?平面SBC，平面SBC∩平面A₁B₁C₁=EF，
∴BC∥EF，
∴EF⊥平面AA₁C₁C，又AC₁?平面AA₁C₁C，
∴EF⊥AC₁．
（2）由（1）得BC⊥平面AA₁C₁C，∵CC₁?平面AA₁C₁C，
∴BC⊥CC₁，又CC₁=AA₁=BC，BB₁$\stackrel{∥}{=}$AA₁，
∴四邊形BB₁C₁C是正方形．
取CC₁中點O，連接A₁O，
∵A₁C₁=AC=A₁C=CC₁=2，∴△A₁CC₁是等邊三角形，A₁O=$\sqrt{3}$．
∴A₁O⊥C₁C，又A₁O⊥BC，BC∩CC₁=C，
∴A₁O⊥平面BB₁C₁C．
∴V${\;}_{{A}_{1}-BC{C}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{正方形BC{C}_{1}{B}_{1}}•{A}_{1}O$=$\frac{1}{3}×{2}^{2}×\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與線面平行的性質(zhì)，棱錐的體積計算，屬于中檔題．