Question

19．已知圓O：x²+y²=4與x軸交于點(diǎn)A和B，P（異于A，B）是圓O上的動點(diǎn)，PD⊥AB交AB與D，PE=$\frac{1}{3}$ED，直線PA與BE交于點(diǎn)C，點(diǎn)C的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$（x≠±2）．

Answer 1

分析 由題意，A（-2，0）、B（2，0），設(shè)P（x₀，y₀），C（x，y），則E（x₀，$\frac{3}{4}$y₀），x₀²+y₀²=4，利用斜率關(guān)系，相乘得點(diǎn)C的軌跡曲線E的方程．

解答 解：由題意，A（-2，0）、B（2，0），
設(shè)P（x₀，y₀），C（x，y），則E（x₀，$\frac{3}{4}$y₀），x₀²+y₀²=4，
直線PA與BE交于C，故x≠±2，
所以$\frac{y}{x+2}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，①且$\frac{y}{x-2}=\frac{\frac{3}{4}{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，②
①②相乘得點(diǎn)C的軌跡曲線E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$（x≠±2）．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$（x≠±2）．

點(diǎn)評 本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查交軌法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)．