Question

7．某自助銀行有A，B，C三臺ATM機，在某一時刻這三臺ATM機被占用的概率分別為$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{5}$，且這三臺ATM機是否被占用互不影響．
（1）如果某客戶只能使用A或B這兩臺ATM機，求該客戶不需要等待的概率；
（2）若X表示在該時刻這三臺ATM機被占用的數(shù)量，求隨機變量X的分布和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）先計算客戶需要等待的概率，進而根據(jù)對立事件概率減法公式，得到答案；
（2）X的可能取值為0，1，2，3，進而可求出隨機變量X的分布和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)“該客戶不需要等待”為事件M，
∵在某一時刻A，B兩臺ATM機被占用的概率分別為$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，
P（M）=1-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{6}$，
∴客戶不需要等待的概率為 $\frac{5}{6}$；
（2）由題意可得X的可能取值為0，1，2，3，
由（1）知P（X=0）=（1-$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{2}{5}$）=$\frac{1}{5}$，
P（X=1）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{2}{5}$）+（1-$\frac{1}{2}$）$\frac{1}{3}$（1-$\frac{2}{5}$）+（1-$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{1}{3}$）$\frac{2}{5}$=$\frac{13}{30}$，
P（X=2）=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{3}$（1-$\frac{2}{5}$）+（1-$\frac{1}{2}$）$\frac{1}{3}$•$\frac{2}{5}$+$\frac{1}{2}$•（1-$\frac{1}{3}$）$\frac{2}{5}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=3）=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{3}$•$\frac{2}{5}$=$\frac{1}{15}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{13}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{15}$

X的數(shù)學(xué)期望為：EX=0×$\frac{1}{5}$+1×$\frac{13}{30}$+2×$\frac{3}{10}$+3×$\frac{1}{15}$=$\frac{37}{30}$．

點評 本題考查的知識點是對立事件概率減法公式，相互獨立事件概率乘法公式，隨機變量的分布列與期望，難度中檔．