Question

【題目】已知棱長為的正方體中，分別為棱和的中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）求點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）證法一：連結(jié)交于點(diǎn)，利用平幾知識證四邊形為平行四邊形，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)果；證法二：取中點(diǎn)，利用平幾知識證∥，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)果；

（2））解法一與解法二，利用等體積法求點(diǎn)到直線距離.

（1）證法一：如圖連結(jié)交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，連結(jié)，

∵為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴∥，

∵為的中點(diǎn)，∴∥，，∴四邊形為平行四邊形

∴∥，∵平面，平面

∴∥平面.

證法二：如圖取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)檎�方體，

分別為中點(diǎn)，所以可得四邊形和四邊形均為平行四邊

形，所以∥∥，所以平面即為平行四邊形所在平面，因?yàn)?/span>

為的中點(diǎn)，所以也為中點(diǎn)，且為中點(diǎn)，所以∥，∴∥平面.

（2）解法一：延長到點(diǎn)，使得，連結(jié)，則∥平面，

則到平面的距離即到平面的距離，，點(diǎn)到平面的距

離為，，

設(shè)到平面的距離為，則，即

可得，即點(diǎn)到平面的距離為

解法二：由證法二知點(diǎn)到平面的距離為到平面的距離，所以，

且，，所以到平面的距離為.