Question

過雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）左焦點F斜率為

a

b

的直線l分別與C的兩漸近線交于點P與Q，若

FP

=

PQ

，則C的漸近線的斜率為（　　）

• A、±

  3

• B、±2
• C、±1
• D、±

  5

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先寫出雙曲線的漸近線方程y=±

b

a

x，和直線l的方程y=

a

b

(x+c)，為便于求

b

a

，設(shè)

b

a

=k，根據(jù)漸近線方程和直線l的方程形成的方程組能夠分別求出Q，P兩點的橫坐標(biāo)，從而求出向量

FP

，

PQ

的橫坐標(biāo)，而根據(jù)

FP

=

PQ

即可建立關(guān)于k的方程，解方程即得k的值，從而得到C的漸近線的斜率．

解答： 解：雙曲線C的漸近線方程為y=±

b

a

x，直線l的方程為y=

a

b

(x+c)，設(shè)

b

a

=k，則：
由

y=kx y= 1 k (x+c)

得，（k²-1）x=c；
∴x=

c

k2-1

，即Q點的橫坐標(biāo)為

c

k2-1

；
同樣可求得P點的橫坐標(biāo)為-

c

1+k2

；
∵

FP

=

PQ

；
∴

c

k2-1

-(-

c

1+k2

)=-

c

1+k2

-(-c)；
解得k=±

3

；
即C的漸近線的斜率為±

3

．
故選A．

點評：考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點及其漸近線方程，以及直線的點斜式方程，通過方程組消去y從而得到交點的橫坐標(biāo)，向量相等時向量坐標(biāo)的關(guān)系．