Question

7．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為4，M，N，E，F(xiàn)分別為A₁D₁，A₁B₁，C₁D₁，B₁C₁的中點(diǎn)，平面AMN與平面EFBD間的距離為$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 連結(jié)A₁C₁交MN于P點(diǎn)，交EF于點(diǎn)Q，連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，分別連結(jié)PA、QO．由已知得四邊形PAOQ為平行四邊形，由此能證明平面AMN∥平面EFBD．

解答 解：連結(jié)A₁C₁交MN于P點(diǎn)，交EF于點(diǎn)Q，
連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，分別連結(jié)PA、QO．
∵M(jìn)、N為A₁B₁、A₁D₁的中點(diǎn)，
∴MN∥EF．而EF?面EFBD．
∴MN∥面EFBD．∵PQ∥AO，PQ=AO
∴四邊形PAOQ為平行四邊形．∴PA∥QO．
而QO?平面EFBD，∴PA∥平面EFBD，
且PA∩MN=P，PA、MN?面AMN．
∴平面AMN∥平面EFBD，
∴平面AMN與平面EFBD間的距離即E到平面AMN的距離，
設(shè)E到平面AMN的距離為h，
有V_A-MNE=V_E-AMN，S_△MNE=$\frac{1}{2}$×2×4=4，
AM=AN=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，MN=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，根據(jù)勾股定理得AG=3$\sqrt{2}$，S_△AMN=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=6，
V_A-MNE=$\frac{1}{3}$×4×4=$\frac{16}{3}$．
∴h=$\frac{3{V}_{A-MNE}}{{S}_{△AMN}}$=$\frac{16}{6}$=$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了空間直線的位置關(guān)系，平行垂直問題，難度適中，屬于中檔題．