Question

已知f（x）=lnx，g（x）=

1

3

x3+

1

2

x2+mx+n，直線l與函數(shù)f（x），g（x）的圖象都相切于點(diǎn)（1，0）
（1）求直線l的方程；
（2）求函數(shù)g（x）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，再由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；
（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，由切點(diǎn)可得切線的斜率，再由切點(diǎn)在曲線g（x）上，即可解得m，n，則有函數(shù)g（x）的解析式．

解答： 解：（1）f（x）=lnx的導(dǎo)數(shù)f′（x）=

1

x

，
由切點(diǎn)（1，0）得切線的斜率為1，
則直線l的方程為：y=x-1；
（2）g（x）=

1

3

x3+

1

2

x2+mx+n的導(dǎo)數(shù)g′（x）=x²+x+m，
由于直線l與函數(shù)f（x），g（x）的圖象都相切于點(diǎn)（1，0），
則f′（1）=g′（1），即1=2+m，即得m=-1，
又g（1）=0，即

1

3

+

1

2

-1+n=0，即有n=

1

6

．
則g（x）=

1

3

x3+

1

2

x2-x+

1

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在某點(diǎn)處的切線的斜率，考查直線方程的形式，以及運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．