Question

9．已知拋物線C：y²=4x，經(jīng)點(diǎn)K（-2，0）的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，且直線BD與x軸相交于點(diǎn)P（m，0），求m的值．

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖形，設(shè)出直線l的方程為x=my-2，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，化為關(guān)于y的一元二次方程，再設(shè)出A，B，D的坐標(biāo)，利用根與系數(shù)關(guān)系得到A，B的縱坐標(biāo)的和與積，把BD的斜率用A，B的坐標(biāo)表示，寫(xiě)出BD的方程，取y=0得到直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系及點(diǎn)A在拋物線上整體運(yùn)算求得m的值．

解答 解：如圖，
由題意可設(shè)直線l的方程為x=my-2，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my-2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得y²-4my+8=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₁，-y₁），
則y₁+y₂=4m，y₁y₂=8，
${k}_{BD}=\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=\frac{4m}{（m{y}_{2}-2）-（m{y}_{1}-2）}$=$\frac{4}{{y}_{2}-{y}_{1}}$，
∴直線BD的方程為：$y+{y}_{1}=\frac{4}{{y}_{2}-{y}_{1}}（x-{x}_{1}）$，
取y=0，
得：$x=\frac{{y}_{1}（{y}_{1}+{y}_{2}）}{4}+{x}_{1}$=$\frac{{y}_{1}（{y}_{1}+{y}_{2}）}{4}+m{y}_{1}-2=\frac{4m{y}_{1}-{{y}_{1}}^{2}}{4}$
=$\frac{4（{x}_{1}+2）-{{y}_{1}}^{2}}{4}=\frac{8+4{x}_{1}-{{y}_{1}}^{2}}{4}$=$\frac{8}{4}=2$．
即m=2．

點(diǎn)評(píng) 本題為解析幾何與平面向量綜合的問(wèn)題，主要考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理論證的能力、運(yùn)算能力和解決問(wèn)題的能力，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合思想、設(shè)而不求的思想方法，是中檔題．