Question

7．某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：

x	x1	$\frac{1}{3}$	x2	$\frac{7}{3}$	x3
ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
Asin（ωx+φ）	0	$\sqrt{3}$	0	-$\sqrt{3}$	0

（1）請(qǐng)寫出上表的x₁、x₂、x₃，并直接寫出函數(shù)的解析式；
（2）將f（x）的圖象沿x軸向右平移$\frac{2}{3}$個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖象，P、Q分別為函數(shù)g（x）圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)（如圖），求∠OQP的大�。�
（3）求△OQP的面積．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，可得P、Q、M的坐標(biāo)，利用兩個(gè)向量的夾角公式求得∠OQP的余弦值，可得∠OQP的值．
（3）根據(jù)根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知線段PQ必過點(diǎn)M，由 S_△OQP=S_△POM+S_△QOM，求得它的值．

解答 解：（1）由題意可得A=$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{7}{3}$-$\frac{1}{3}$，求得ω=$\frac{π}{2}$．
再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得$\frac{π}{2}$•$\frac{1}{3}$+ϕ=$\frac{π}{2}$，∴ϕ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{3}$）．
（2）將f（x）的圖象沿x軸向右平移$\frac{2}{3}$個(gè)單位得到
函數(shù)對(duì)應(yīng)的解析式為 $g（x）=\sqrt{3}sin\frac{π}{2}x$，
因?yàn)镻、Q分別為該圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，
所以，$P（1，\sqrt{3}），Q（3，-\sqrt{3}）$，
所以，$\overrightarrow{QO}=（-3，\sqrt{3}），\overrightarrow{QP}=（-2，2\sqrt{3}）$，$|\overrightarrow{QO}|=\sqrt{12}，|\overrightarrow{QP}|=4，\overrightarrow{QO}•\overrightarrow{QP}=12$，
∴$cos∠OQP=\frac{{\overrightarrow{QO}•\overrightarrow{QP}}}{{|\overrightarrow{QO}||\overrightarrow{QP}|}}=\frac{12}{{2\sqrt{3}×4}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
所以$∠OQP=\frac{π}{6}$．
（3）$OM=\frac{T}{2}=2$，根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知線段PQ必過點(diǎn)M（如圖），
∴S_△OQP=S_△POM+S_△QOM=$\frac{1}{2}$|y_P|•OM+$\frac{1}{2}$|y_Q|•OM=|y_P|•OM=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的圖象特征，由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值；還考查了y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，兩個(gè)向量的夾角公式，屬于中檔題．