Question

10．已知函數(shù)y=$\frac{1+sinx-cosx}{1+sinx+cosx}$．
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）在判斷該函數(shù)的奇偶性時(shí)，某同學(xué)的解法如下：
y=$\frac{1+sinx-cosx}{1+sinx+cosx}$=$\frac{2si{n}^{2}\frac{x}{2}+2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}{2co{s}^{2}\frac{x}{2}+2sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2}}$=$\frac{2sin\frac{x}{2}（sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}）}{2cos\frac{x}{2}（sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}）}$=tan$\frac{x}{2}$
∵函數(shù)y=tan$\frac{x}{2}$是奇函數(shù)，
∴函數(shù)y=$\frac{1+sinx-cosx}{1+sinx+cosx}$是奇函數(shù)．
參照（1）的結(jié)果，判斷該同學(xué)的結(jié)論是否正確，如果你認(rèn)為不正確，試指出該同學(xué)得出錯(cuò)誤結(jié)論的原因，并給出正確的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由y解析式分母不為0，求出x的范圍，即為函數(shù)的定義域；
（2）該同學(xué)的結(jié)論錯(cuò)誤，出錯(cuò)的原因是：由（1）求出的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故y為非奇非偶函數(shù)．

解答 解：（1）函數(shù)y滿足：1+sinx+cosx≠0，
∴1+$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）≠0，
∴sin（x+$\frac{π}{4}$）≠-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴x+$\frac{π}{4}$≠2kπ-$\frac{3π}{4}$且x+$\frac{π}{4}$≠2kπ-$\frac{π}{4}$，x∈Z，
∴x≠2kπ-π且x≠2kπ-$\frac{π}{2}$，x∈Z，
則函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠2kπ-π且x≠2kπ-$\frac{π}{2}$，x∈Z}；
（2）該同學(xué)結(jié)論不正確，
理由為：顯然自變量x不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故y為非奇非偶函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．