Question

11．已知$\overrightarrow a$=（cosα，sinα），$\overrightarrow b$=（cosβ，sinβ），（0＜β＜α＜π）．
（1）若$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=\sqrt{2}$，求證：$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$；
（2）設$\overrightarrow c=（{0，1}）$，若$\overrightarrow a+\overrightarrow b=\overrightarrow c$，求α，β的值．

Answer 1

分析 （1）根據平面向量的數量積運算和模長公式，求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0即可證明$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$；
（2）利用平面向量的坐標運算法則和三角恒等變換，求出sinβ和sinα的值，即可求出β與α的值．

解答 （1）證明：$\overrightarrow a$=（cosα，sinα），$\overrightarrow b$=（cosβ，sinβ），
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$=cos²α+sin²α=1，
${\overrightarrow}^{2}$=cos²β+sin²β=1；
又$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=\sqrt{2}$，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=1+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+1=2，
解得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
∴$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$；
（2）解：∵$\overrightarrow c=（{0，1}）$，$\overrightarrow a+\overrightarrow b=\overrightarrow c$，
∴（cosα+cosβ，sinα+sinβ）=（0，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{cosα+cosβ=0}\\{sinα+sinβ=1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{cosα=-cosβ}\\{sinα=1-sinβ}\end{array}\right.$，
兩邊平方，得1=2-2sinβ，
解得sinβ=$\frac{1}{2}$，sinα=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$；
又∵0＜β＜α＜π，
∴α=$\frac{5π}{6}$，β=$\frac{π}{6}$．

點評 本題考查了平面向量的坐標表示與數量積運算問題，也考查了三角函數的應用問題，是中檔題．