8．將底邊長為2的等腰直角三角形ABC沿高線AD折起，使∠BDC=60°，若折起后A、B、C、D四點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的體積為$\frac{7\sqrt{21}}{54}π$．

分析 通過底面三角形BCD求出底面圓的半徑DM，判斷球心到底面圓的距離OM，求出球O的半徑OD，即可求解球O的體積．

解答 解：如圖，在△BCD中，BD=1，CD=1，∠BDC=60°，
底面三角形BCD的外接圓圓半徑為r，則$\frac{1}{sin6{0}^{0}}=2r$
∴$r=\frac{1}{\sqrt{3}}$
AD是球的弦，DA=1，
∴OM=$\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}$
∴球的半徑R=OD=$\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{7}{12}}$，
∴球O的體積為$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{7\sqrt{21}}{54}π$．
故答案為：$\frac{7\sqrt{21}}{54}π$

點(diǎn)評 本題考查球的體積的求法，球的內(nèi)接體，考查空間想象能力以及計算能力．屬于中檔題．

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