Question

13．三棱錐S-ABC中，側(cè)棱SA⊥底面ABC，AB=5，BC=8，∠B=60°，$SA=2\sqrt{5}$，則該三棱錐的外接球的表面積為（　　）

• A． $\frac{64}{3}π$
• B． $\frac{256}{3}π$
• C． $\frac{436}{3}π$
• D． $\frac{2048}{27}\sqrt{3}π$

Answer 1

分析 由已知結(jié)合三棱錐和直三棱柱的幾何特征，可得此三棱錐外接球，即為以△ABC為底面以SA為高的直三棱柱的外接球，分別求出棱錐底面半徑r，和球心距d，得球的半徑R，然后求解表面積．

解答 解：在△ABC中，由AB=5，BC=8，∠B=60°，可得AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}-2AB•BC•cos6{0}^{0}}$=7
可得此三棱錐外接球，即為以△ABC為底面以SA為高的直三棱柱的外接球，
∵在△ABC中，設(shè)△ABC的外接圓半徑r，則$\frac{AC}{sin6{0}^{0}}=2r$，r=$\frac{7}{\sqrt{3}}$
 球心到△ABC的外接圓圓心的距離d=$\sqrt{5}$，
故球的半徑R=$\sqrt{5+\frac{49}{3}}=\sqrt{\frac{64}{3}}$，
∴三棱錐S-ABC外接球的表面積為：4πR²=4$π×\frac{64}{3}$=$\frac{256}{3}$π．
故選：B．

點評 本題考查的知識點是球內(nèi)接多面體，利用正弦定理求△ABC的外接圓半徑、熟練掌握球的半徑R公式是解答的關(guān)鍵．屬于中檔題．