Question

1．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4，點(diǎn)A為橢圓的右頂點(diǎn)，點(diǎn)B為橢圓上一點(diǎn)，且△OAB是等腰直角三角形（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)橢圓C上異于其頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)P，作圓x²+y²=$\frac{4}{3}$的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，若直線MN與x，y軸的交點(diǎn)分別是（m，0），（0，n），證明：$\frac{1}{m^2}$+$\frac{3}{n^2}$是定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意求出B的坐標(biāo)，代入橢圓方程求得b值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀）為橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}=1$上的點(diǎn)，求得${{x}_{0}}^{2}+3{{y}_{0}}^{2}=4$，再求出以O(shè)P為直徑的圓的方程，和已知圓的方程作差求出兩圓公共弦的方程，然后求得m，n的值，代入$\frac{1}{m^2}$+$\frac{3}{n^2}$得答案．

解答 （Ⅰ）解：如圖，
由△OAB是等腰直角三角形，且2a=4，得OA=2，B（1，1），
代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，得$\frac{1}{4}+\frac{1}{^{2}}=1$，∴$\frac{1}{^{2}}=\frac{3}{4}$，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}=1$；
（Ⅱ）證明：設(shè)P（x₀，y₀）為橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}=1$上的點(diǎn)，則${{x}_{0}}^{2}+3{{y}_{0}}^{2}=4$，
以O(shè)P為直徑的圓的方程為$（x-\frac{{x}_{0}}{2}）^{2}+（y-\frac{{y}_{0}}{2}）^{2}=\frac{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}{4}$，
整理得：x²+y²-x₀x-y₀y=0，①
又圓x²+y²=$\frac{4}{3}$，②
②-①得，直線MN的方程為${x}_{0}x+{y}_{0}y=\frac{4}{3}$，
取y=0，得$x=\frac{4}{3{x}_{0}}$，即m=$\frac{4}{3{x}_{0}}$；
取x=0，得$y=\frac{4}{3{y}_{0}}$，即n=$\frac{4}{3{y}_{0}}$．
∴$\frac{1}{m^2}$+$\frac{3}{n^2}$=$\frac{9}{16}{{x}_{0}}^{2}+\frac{27}{16}{{y}_{0}}^{2}=\frac{9}{16}（{{x}_{0}}^{2}+3{{y}_{0}}^{2}）=\frac{9}{16}×4=\frac{9}{4}$（為定值）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線與圓，圓與橢圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是求出過(guò)點(diǎn)P與圓相切的兩切線切點(diǎn)的直線MN的方程，是中檔題．