Question

12．已知點(diǎn)N（4，0），點(diǎn)M（x₀，y₀）在圓x²+y²=4上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P（x，y）為線段MN的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程；
（Ⅱ）求點(diǎn)P到直線3x+4y-56=0的距離的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）用x和y表示出M的坐標(biāo)代入圓的方程即可求得P的軌跡方程．
（Ⅱ）利用點(diǎn)到直線的距離求得圓心到直線的距離，進(jìn)而利用圓心到直線的距離加或減半徑即可求得最大和最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵點(diǎn)P（x，y）是MN的中點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{{x_0}+4}}{2}\\ y=\frac{y_0}{2}\end{array}\right.$故$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=2x-4\\{y_0}=2y\end{array}\right.$，
將用x，y表示的x₀，y₀代入到${x_0}^2+{y_0}^2=4$
中得（x-2）²+y²=1．
此式即為所求軌跡方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知點(diǎn)P的軌跡是以Q（2，0）為圓心，以1為半徑的圓．
點(diǎn)Q到直線3x+4y-56=0的距離$d=\frac{{|{6-56}|}}{{\sqrt{{3^2}+{4^2}}}}=10$．
故點(diǎn)P到直線3x+4y-56=0的距離的最大值為10+1=11，最小值為10-1=9．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓的方程的應(yīng)用．解決直線與圓的方程問(wèn)題，一般是看圓心到直線的距離，利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解決．