Question

16．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，過橢圓右焦點F作兩條弦AB與CD，當(dāng)弦AB與x軸垂直時，|AB|=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若A點在第一象限，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=0，直線AB，CD的斜率分別為k₁，k₂，
（i）當(dāng)k₁+k₂=0時，求△OAB的面積；
（ii）試判斷四邊形ACBD的面積是否有最小值？若有最小值，請求出最小值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，過橢圓右焦點F作兩條弦AB與CD，當(dāng)弦AB與x軸垂直時，|AB|=$\sqrt{2}$．建立方程，求出a，b，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）（i）若A點在第一象限，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=0，直線AB，CD的斜率分別為k₁，k₂，k₁k₂=-1，當(dāng)k₁+k₂=0時，k₁=1，k₂=-1，可得直線方程，即可求△OAB的面積；
（ii）設(shè)AB：y=k₁（x-1），代入橢圓方程，求出|AB|，同理求出|CD|，可得面積，化簡，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題意，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a=$\sqrt{2}$c，∴b=c
∵當(dāng)弦AB與x軸垂直時，|AB|=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）（i）∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=0，
∴AB⊥CD，
∴k₁k₂=-1，
∵k₁+k₂=0，
∴k₁=1，k₂=-1，
∵A點在第一象限，
∴AB的方程為y=x-1，
代入橢圓方程可得3x²-4x=0，
∴x=0或$\frac{4}{3}$，
∴|AB|=$\sqrt{2}$•$\frac{4}{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∵d=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{2}{3}$；
（ii）設(shè)AB：y=k₁（x-1），代入橢圓方程可得（1+2k₁²）x²-4k₁²x+2k₁²-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=$\frac{4{{k}_{1}}^{2}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{{k}_{1}}^{2}-2}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{2\sqrt{2}（{{k}_{1}}^{2}+1）}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$，
同理|CD|=$\frac{2\sqrt{2}（{{k}_{1}}^{2}+1）}{{{k}_{1}}^{2}+2}$，
∴S_ABCD=$\frac{1}{2}$•$\frac{2\sqrt{2}（{{k}_{1}}^{2}+1）}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$•$\frac{2\sqrt{2}（{{k}_{1}}^{2}+1）}{{{k}_{1}}^{2}+2}$
=2-$\frac{2}{2（{k}_{1}+\frac{1}{{k}_{1}}）^{2}+1}$，
∵$2（{k}_{1}+\frac{1}{{k}_{1}}）^{2}+1$≥2$（2\sqrt{{k}_{1}•\frac{1}{{k}_{1}}}）^{2}$+1=9，當(dāng)且僅當(dāng)k₁=±1時取等號，
∴四邊形ACBD的面積的最小值為$\frac{16}{9}$．

點評 本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查面積的計算，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．