Question

3．設函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象與x軸從左至右依次交于不同的三點A，M，B，分別過點A，B作曲線y=f（x）的切線，切點分別為P，Q，且點P與A不重合，點Q與B不重合，設點P，Q在x軸上的射影分別為P′，Q′，則$\frac{|AB|}{|P′Q′|}$=（　　）

• A． 4
• B． 2
• C． 3
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 設出A、B、P、Q的坐標，表示出切線的斜率，求出x₃，x₄的解，代入$\frac{|AB|}{|P′Q′|}$，求出答案．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
f′（x）=3${{x}_{3}}^{2}$+2ax₃+b，
即：$\frac{{{x}_{3}}^{3}+{{ax}_{3}}^{2}+{bx}_{3}+c}{{x}_{3}{-x}_{1}}$-$\frac{{{x}_{1}}^{3}+{{ax}_{1}}^{2}+{bx}_{1}+c}{{x}_{3}{-x}_{1}}$=3${{x}_{3}}^{2}$+2ax₃+b，
化簡整理得：x₃=-$\frac{a{+x}_{1}}{2}$，同理x₄=-$\frac{a{+x}_{2}}{2}$，
∴$\frac{|AB|}{|P′Q′|}$=$\frac{{|x}_{2}{-x}_{1}|}{{|x}_{4}{-x}_{3}|}$=2，
故選：B．

點評 本題考查了曲線的切線方程，考查斜率的定義，考查導數(shù)的應用，是一道基礎題．