Question

15．已知數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，若a₁=-$\frac{1}{2}$，且2S₃=S₁+S₂．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{（-1）^{n}n}{{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用2S₃=S₁+S₂即$2{a}_{1}（1+q+{q}^{2}）$=a₁（2+q）化簡可得公比q=-$\frac{1}{2}$，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過a_n=$（-\frac{1}{2}）^{n}$可知b_n=n•2ⁿ，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵2S₃=S₁+S₂，
∴$2{a}_{1}（1+q+{q}^{2}）$=a₁（2+q），
化簡得：2q²+q=0，
∴q=-$\frac{1}{2}$或q=0（舍），
又a₁=-$\frac{1}{2}$，
∴a_n=-$\frac{1}{2}$•$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$=$（-\frac{1}{2}）^{n}$；
（2）∵a_n=$（-\frac{1}{2}）^{n}$，
∴b_n=$\frac{（-1）^{n}n}{{a}_{n}}$=（-1）ⁿ•（-2）ⁿ•n=n•2ⁿ，
∴T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
∴2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹
=（1-n）2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=2+（n-1）2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．