Question

2．已知點(diǎn)A（-1，0），F(xiàn)（1，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AF}$=2|$\overrightarrow{FP}$|．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）直線l過(guò)F交曲線C于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的長(zhǎng)為6，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AF}$=2|$\overrightarrow{FP}$|，建立方程，化簡(jiǎn)，即可求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）直線l的方程為y=k（x-1）代入y²=4x，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，利用線段AB的長(zhǎng)為6，求出k，即可求l的方程．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），則$\overrightarrow{AP}$=（x+1，y），$\overrightarrow{FP}$=（x-1，y），$\overrightarrow{AF}$=（2，0），
∵$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AF}$=2|$\overrightarrow{FP}$|，
∴2（x+1）=2$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，
∴y²=4x；
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
直線l的方程為y=k（x-1）代入y²=4x，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，（9分）
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}$（10分）
∵AB=（x₁-1）+（x₂-1）=6，
∴$\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}$=4（12分）
解得$k=±\sqrt{2}$，l的方程為$y=±\sqrt{2}（{x-1}）$（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．