Question

19．如圖，在四棱錐E-ABCD中，EC⊥底面ABCD，AB⊥BC，AB∥CD，AB=1，CB=CD=CE=3．
（1）若F在側(cè)棱DE上，且DF=2FE，求證：AF∥平面BCE；
（2）求平面ADE與平面BCE所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 由已知可得CB，CE，CD兩兩垂直，可以C為原點，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，則C（0，0，0），D（3，0，0），B（0，3，0），E（0，0，3），F(xiàn)（1，0，2）．A（1，3，0），利用向量法求解．

解答 解：∵EC⊥底面ABCD，AB⊥BC，AB∥CD，∴CB，CE，CD兩兩垂直，
故以C為原點，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，則C（0，0，0），
D（3，0，0），B（0，3，0），E（0，0，3），F(xiàn)（1，0，2）．A（1，3，0），
（1）證明：易得平面BCE的法向量為$\overrightarrow{m}=（1，0，0）$，$\overrightarrow{AF}=（0，-3，2）$
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AF}=1×0+0×（-3）+0×2=0$，∴$\overrightarrow{AF}⊥\overrightarrow{m}$，
又AF?平面BCE，∴AF∥平面BCE；
（2）$\overrightarrow{AD}=（2，-3，0）$，$\overrightarrow{AE}=（-1，-3，3）$
設(shè)平面ADE的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=2x-3y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=-x-3y+3z=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{n}=（3，2，3）$
cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{1×\sqrt{22}}$=$\frac{3\sqrt{22}}{22}$
∴平面ADE與平面BCE所成銳二面角的余弦值為$\frac{3\sqrt{22}}{22}$．

點評 本題考查了向量法求證線面平行、向量法求二面角，屬于中檔題．