Question

19．已知定義在R上的可導函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），滿足f′（x）＜f（x），且f（0）=1，則不等式f（x）＜e^x的解集為（0，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，對其求導可得g′（x），分析可得g′（x）＜0，即函數(shù)g（x）為減函數(shù)；結(jié)合f（0）=1可得g（0）=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$=1，則不等式f（x）＜e^x?$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜1?g（x）＜1?g（x）＜g（0），借助函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
則其導數(shù)g′（x）=$\frac{f′（x）•{e}^{x}-f（x）•（{e}^{x}）′}{{（e}^{x}）^{2}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
又由f′（x）＜f（x），則有g(shù)′（x）＜0，即函數(shù)g（x）為減函數(shù)；
且g（0）=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$=1；
則不等式f（x）＜e^x?$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜1?g（x）＜1?g（x）＜g（0），
又由函數(shù)g（x）為減函數(shù)，
則有x＞0；
則不等式f（x）＜e^x的解集為（0，+∞）；
故答案為：（0，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，涉及函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應用，結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．