Question

9．已知函數(shù)f（x）=4x²-kx-8．
（1）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[2，10]上單調(diào)，求實數(shù)k的取值范圍；
（2）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-∞，2]上有最小值-12，求實數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）討論y=f（x）在區(qū)間[2，10]上的單調(diào)性，可得對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，解不等式即可得到所求范圍；
（2）討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，可得對稱軸處取最小值；或在2處取最小值，分別得到關(guān)于k的方程解之即可得到所求值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=4x²-kx-8的對稱軸為x=$\frac{k}{8}$，
若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[2，10]上單調(diào)遞增，
即有$\frac{k}{8}$≤2，解得k≤16；
若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[2，10]上單調(diào)遞減，
即有$\frac{k}{8}$≥10，解得k≥80．
則實數(shù)k的取值范圍為k≥80或k≤16；
（2）當(dāng)$\frac{k}{8}$≥2即k≥16時，區(qū)間（-∞，2]為減區(qū)間，
即有f（2）為最小值，且為16-2k-8=-12，解得k=10＜16，不成立；
當(dāng)$\frac{k}{8}$＜2即k＜16時，區(qū)間（-∞，$\frac{k}{8}$）遞減，（$\frac{k}{8}$，2]為增區(qū)間，
即有f（$\frac{k}{8}$）為最小值，且為-8-$\frac{{k}^{2}}{16}$=-12，解得k=±8．
綜上可得，k的值為±8．

點評 本題考查了二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值求法，關(guān)鍵要明確對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，求得區(qū)間的單調(diào)性，屬于中檔題．