Question

8．已知中心在原點(diǎn)O的橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）其短軸長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$，一焦點(diǎn)F（c，0）（c＞0），且2a²=3c²，過(guò)點(diǎn)A（3，0）的直線(xiàn)與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，求直線(xiàn)PQ的方程；
（Ⅱ）設(shè)$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AQ}$（λ＞1）．點(diǎn)M為P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，證明：$\overrightarrow{FM}$=-λ$\overrightarrow{FQ}$．

Answer 1

分析 （I）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{2b=2\sqrt{2}}\\{2{a}^{2}=3{c}^{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為：my=x-3，Q（x₁，y₁），P（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立可得：（m²+3）y²+6my+3=0．由$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，可得x₁x₂+y₁y₂=0，即（my₁+3）（my₂+3）+y₁y₂=0，把根與系數(shù)的關(guān)系代入可得m．
（II）F（2，0）．由（I）可得：M（x₂，-y₂），由于$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AQ}$（λ＞1）．可得y₂=λy₁．即可證明．

解答 解：（I）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{2b=2\sqrt{2}}\\{2{a}^{2}=3{c}^{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得b=$\sqrt{2}$，c=2，a²=6．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為：my=x-3，Q（x₁，y₁），P（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-3}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=6}\end{array}\right.$，化為：（m²+3）y²+6my+3=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{6m}{{m}^{2}+3}$，y₁y₂=$\frac{3}{{m}^{2}+3}$．
∵$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴（my₁+3）（my₂+3）+y₁y₂=0，
化為（m²+1）y₁y₂+3m（y₁+y₂）+9=0，
∴$\frac{3（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+3}$-$\frac{18{m}^{2}}{{m}^{2}+3}$+9=0，
化為：m²=5，
解得m=$±\sqrt{5}$，
∴直線(xiàn)PQ的方程為：x$±\sqrt{5}$y-3=0．
（II）F（2，0）．
由（I）可得：M（x₂，-y₂），
∵$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AQ}$（λ＞1）．
∴y₂=λy₁．
∴-y₂=-λy₁，
∴$\overrightarrow{FM}$=-λ$\overrightarrow{FQ}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、直線(xiàn)方程、向量共線(xiàn)定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．