Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{9x}{a{x}^{2}+1}$（a＞0）．
（1）若a＞$\frac{2}{3}$，且曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線的斜率為-$\frac{27}{25}$，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：當x＞1時，f（x）＞$\frac{9+lnx}{a{x}^{2}+1}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率，解方程可得a=1，由導數(shù)大于0，可得增區(qū)間，由導數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（2）要證當x＞1時，f（x）＞$\frac{9+lnx}{a{x}^{2}+1}$（a＞0），即證當x＞1時，$\frac{9x}{a{x}^{2}+1}$＞$\frac{9+lnx}{a{x}^{2}+1}$（a＞0），即有當x＞1時，9+lnx＜9x．令g（x）=9+lnx-9x（x＞1），求出導數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得證．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{9x}{a{x}^{2}+1}$的導數(shù)為
f′（x）=$\frac{9（1-a{x}^{2}）}{（a{x}^{2}+1）^{2}}$，
即有在點（2，f（2））處的切線的斜率為$\frac{9（1-4a）}{（1+4a）^{2}}$=-$\frac{27}{25}$，
解得a=$\frac{7}{12}$＜$\frac{2}{3}$（舍去）或a=1，
即有f（x）=$\frac{9x}{1+{x}^{2}}$的導數(shù)為f′（x）=$\frac{9（1-{x}^{2}）}{（1+{x}^{2}）^{2}}$，
由f′（x）＞0，可得-1＜x＜1，由f′（x）＜0，可得x＞1或x＜-1．
則f（x）的增區(qū)間為（-1，1），減區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）；
（2）證明：要證當x＞1時，f（x）＞$\frac{9+lnx}{a{x}^{2}+1}$（a＞0），
即證當x＞1時，$\frac{9x}{a{x}^{2}+1}$＞$\frac{9+lnx}{a{x}^{2}+1}$（a＞0），
即有當x＞1時，9+lnx＜9x．
令g（x）=9+lnx-9x（x＞1），
g′（x）=$\frac{1}{x}$-9＜0，即有g（x）在（1，+∞）遞減，
則g（x）＜g（1）=0，即有當x＞1時，9+lnx＜9x．
故當x＞1時，f（x）＞$\frac{9+lnx}{a{x}^{2}+1}$．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，考查不等式的證明，注意運用構造函數(shù)和求導判斷單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題．