Question

3．若直線y=x+$\sqrt{6}$與橢圓x²+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1（m＞0且m≠1）只有一個公共點，則該橢圓的長軸長為2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 直線方程與橢圓方程聯(lián)立：（m²+1）x²+2$\sqrt{6}$x+6-m²=0，根據(jù)直線y=x+$\sqrt{6}$與橢圓x²+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1（m＞0且m≠1）只有一個公共點，可得△=0，解出即可得出．

解答 解：聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+\sqrt{6}}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化為：（m²+1）x²+2$\sqrt{6}$x+6-m²=0，
∵直線y=x+$\sqrt{6}$與橢圓x²+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1（m＞0且m≠1）只有一個公共點，
∴△=24-4（m²+1）（6-m²）=0，
化為：m⁴-5m²=0，m＞0且m≠1，
解得m=$\sqrt{5}$．
∴該橢圓的長軸長為2$\sqrt{5}$．
故答案為：2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了直線與橢圓相切與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．