Question

19．在等腰梯形ABCD中（如圖），AB∥CD，DE⊥AB，AB=5，CD=3，∠DAB=$\frac{π}{3}$，現(xiàn)沿DE將等腰梯形折成直二面角．
（1）證明：BC⊥平面ACE；
（2）求平面ADE與平面ABC所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用勾股定理求出BC⊥EC，由直二面角性質(zhì)得AE⊥平面BCDE，由此能證明BC⊥平面ACE．
（2）以E為原點(diǎn)，EB為x軸，ED為y軸，EA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此利用向量法能求出平面ADE與平面ABC所成二面角的余弦值．

解答 （1）證明：在等腰梯形ABCD中，
∵AB∥CD，DE⊥AB，AB=5，CD=3，∠DAB=$\frac{π}{3}$，
∴AE=1，AD=BC=2，DE=$\sqrt{3}$，CE=$\sqrt{3+9}$=2$\sqrt{3}$，BE=4，
∴CE²+BC²=BE²，∴BC⊥EC，
∵沿DE將等腰梯形折成直二面角，∴AE⊥平面BCDE，
∵BC?平面BCDE，∴BC⊥AE，
∵AE∩CE=E，∴BC⊥平面ACE．
（2）解：以E為原點(diǎn)，EB為x軸，ED為y軸，EA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知得A（0，0，1），B（4，0，0），C（3，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{AB}$=（4，0，-1），$\overrightarrow{AC}$=（3，$\sqrt{3}$，-1），
設(shè)平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=4x-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=3x+\sqrt{3}y-z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，4），
又平面ADE的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
設(shè)平面ADE與平面ABC所成二面角的平面角為θ，
cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{3}+16}}$=$\frac{\sqrt{39}}{26}$．
∴平面ADE與平面ABC所成二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{39}}{26}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查平面與平面所成二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．