Question

14．如圖所示的三個(gè)游戲盤中（圖（1）是正方形，圖（2）是半徑之比為1：2的兩個(gè)同心圓，圖（3）是正六邊形）各有一個(gè)玻璃小球，一次搖動(dòng)三個(gè)游戲盤后，將它們水平放置，就完成了一局游戲．

（1）一局游戲后，這三個(gè)盤中的小球都停在陰影部分的概率是多少？
（2）用隨機(jī)變量ξ表示一局游戲后小球停在陰影部分的個(gè)數(shù)與小球沒有停在陰影部分的個(gè)數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）一局游戲后，分別求出三個(gè)盤中停在陰影部分的概率，由此利用互相獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式能求出一局游戲后，這三個(gè)盤中的小球都停在陰影部分的概率．
（2）一局游戲后，小球停在陰影部分的次數(shù)可能取值為0，1，2，3，相應(yīng)的小球沒有停在陰影部分的次數(shù)可能取值為3、2、1、0，從而得到ξ可能取值為1、3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）一局游戲后，三個(gè)盤中停在陰影部分分別記為事件A₁，A₂，A₃，
由題意知A₁，A₂，A₃互相獨(dú)立，且${P（A}_{1}）=\frac{1}{2}$，P（A₂）=$\frac{1}{4}$，P（A₃）=$\frac{1}{3}$，
∴一局游戲后，這三個(gè)盤中的小球都停在陰影部分的概率為：
P（A₁A₂A₃）=P（A₁）P（A₂）P（A₃）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{24}$．
（2）一局游戲后，小球停在陰影部分的次數(shù)可能取值為0，1，2，3，
相應(yīng)的小球沒有停在陰影部分的次數(shù)可能取值為3、2、1、0，
∴ξ可能取值為1、3，
則P（ξ=3）=P（A₁A₂A₃）+P（$\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}\overline{{A}_{3}}$）
=P（A₁）P（A₂）P（A₃）+$P（\overline{{{A}_{1}}^{\;}}）P（\overline{{A}_{2}}）P（\overline{{A}_{3}}）$
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}×\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{7}{24}$，
P（ξ=1）=1-$\frac{7}{24}=\frac{17}{24}$，
所以ξ分布列為：

ξ	1	3
P	$\frac{17}{24}$	$\frac{7}{24}$

∴Eξ=$1×\frac{17}{24}+3×\frac{7}{24}$=$\frac{19}{12}$．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意互相獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．