Question

4．設(shè)a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，若M=（$\frac{1}{a}$-1）•（$\frac{1}$-1）•（$\frac{1}{c}$-1），則M的最小值為8．

Answer 1

分析 將M=（$\frac{1}{a}$-1）•（$\frac{1}$-1）•（$\frac{1}{c}$-1）變形為$\frac{（b+c）（c+a）（a+b）}{abc}$，利用基本不等式的性質(zhì)求出即可．

解答 解：∵M(jìn)=（$\frac{1}{a}$-1）•（$\frac{1}$-1）•（$\frac{1}{c}$-1）
=$\frac{1-a}{a}$•$\frac{1-b}$•$\frac{1-c}{c}$
=$\frac{（b+c）（c+a）（a+b）}{abc}$
≥$\frac{2\sqrt{bc}•2\sqrt{ca}•2\sqrt{ab}}{abc}$ 
=8，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取等號，∴M≥8．
故答案為：8．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．