Question

16．在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（ cosx，1），B（l，-sinx），X∈R，
（Ⅰ）求|AB|的最小值；
（Ⅱ）設(shè)$f（x）=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，將函數(shù)f（x）的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)g（x）的圖象求函數(shù)g（x）的對稱中心．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出|AB|，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求|AB|的最小值；
（Ⅱ）求出$f（x）=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，利用函數(shù)f（x）的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)g（x）的圖象，可得g（x），再求函數(shù)g（x）的對稱中心．

解答 解：（Ⅰ）|AB|=$\sqrt{（cosx-1）^{2}+（1+sinx）^{2}}$=$\sqrt{3-2cosx+2sinx}$=$\sqrt{3-2\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）}$
∴|AB|的最小值為$\sqrt{3-2\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1；
（Ⅱ）$f（x）=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=cosx-sinx=$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$），
將函數(shù)f（x）的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)g（x）=$\sqrt{2}$cos（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$），
令$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，可得x=2kπ+$\frac{π}{2}$，
∴函數(shù)g（x）的對稱中心為（2kπ+$\frac{π}{2}$，0）（k∈Z）．

點評 本題考查平面向量知識的運用，考查三角函數(shù)知識，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定f（x）是關(guān)鍵．