Question

5．已知橢圓C₁：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），A、B為橢圓的左右頂點，拋物線C₂：y=-x²+1的頂點恰是橢圓的一個焦點，且點A、B在拋物線上．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點B的直線l與C₁在x軸的上方交于P點，與C₂在x軸的下方交于Q點，若AP⊥AQ，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知焦點F（0，1），從而c=1，由點A、B在拋物線上，得-b²+1=0，由此能求出橢圓的方程．
（2）設(shè)直線l方程為y=k（x-1）（k≠0），代入C₁的方程，得（k²+2）x²-2k²x+k²-2=0，點P（x_p，y_p），推導(dǎo)出點P的坐標(biāo)為（$\frac{{k}^{2}-2}{{k}^{2}+2}，\frac{-4k}{{k}^{2}+2}$）．由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1），k≠0}\\{y=-{x}^{2}+1}\end{array}\right.$，得點Q的坐標(biāo)為（-k-1，-k²-2k），由AP⊥AQ，能求出k，從而能求出直線l的方程．

解答 解：（1）∵橢圓C₁：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），A、B為橢圓的左右頂點
拋物線C₂：y=-x²+1的頂點恰是橢圓的一個焦點，
∴焦點F（0，1），∴c=1，
∵點A、B在拋物線上，∴-b²+1=0，∴b=1，
∴a²=1+1=2，
∴橢圓的方程為$\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}$=1．
（2）∵橢圓的方程為$\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}$=1，直線l與x軸不重合也不垂直，設(shè)其方程為y=k（x-1）（k≠0），
代入C₁的方程，整理得
（k²+2）x²-2k²x+k²-2=0．（*）
設(shè)點P（x_p，y_p），
∵直線l過點B（1，0），
∴x=1是方程（*）的一個根，
由求根公式，得x_p=$\frac{{k}^{2}-2}{{k}^{2}+2}$，從而y_p=$\frac{-4k}{{k}^{2}+2}$，
∴點P的坐標(biāo)為（$\frac{{k}^{2}-2}{{k}^{2}+2}，\frac{-4k}{{k}^{2}+2}$）．

同理，由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1），k≠0}\\{y=-{x}^{2}+1}\end{array}\right.$，得點Q的坐標(biāo)為（-k-1，-k²-2k），
∴$\overrightarrow{AP}$=（$\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}+2}$，$\frac{-4k}{{k}^{2}+2}$），$\overrightarrow{AQ}$=（-k，-k²-2k），
∵AP⊥AQ，∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}$=0，
即$\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}+2}•（-k）+\frac{-4k}{{k}^{2}+2}•（-{k}^{2}-2k）$=0，
∵k≠0，∴-k+2（k+2）=0，解得k=-4．
∴直線l的方程為y=-4（x-1）．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)、韋達定理、向量的數(shù)量積等知識點的合理運用．