5.已知橢圓C1:$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0),A、B為橢圓的左右頂點(diǎn),拋物線C2:y=-x2+1的頂點(diǎn)恰是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),且點(diǎn)A、B在拋物線上.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)B的直線l與C1在x軸的上方交于P點(diǎn),與C2在x軸的下方交于Q點(diǎn),若AP⊥AQ,求直線l的方程.

分析 (1)由已知焦點(diǎn)F(0,1),從而c=1,由點(diǎn)A、B在拋物線上,得-b2+1=0,由此能求出橢圓的方程.
(2)設(shè)直線l方程為y=k(x-1)(k≠0),代入C1的方程,得(k2+2)x2-2k2x+k2-2=0,點(diǎn)P(xp,yp),推導(dǎo)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為($\frac{{k}^{2}-2}{{k}^{2}+2},\frac{-4k}{{k}^{2}+2}$).由$\left\{\begin{array}{l}{y=k(x-1),k≠0}\\{y=-{x}^{2}+1}\end{array}\right.$,得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-k-1,-k2-2k),由AP⊥AQ,能求出k,從而能求出直線l的方程.

解答 解:(1)∵橢圓C1:$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0),A、B為橢圓的左右頂點(diǎn)
拋物線C2:y=-x2+1的頂點(diǎn)恰是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),
∴焦點(diǎn)F(0,1),∴c=1,
∵點(diǎn)A、B在拋物線上,∴-b2+1=0,∴b=1,
∴a2=1+1=2,
∴橢圓的方程為$\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}$=1.
(2)∵橢圓的方程為$\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}$=1,直線l與x軸不重合也不垂直,設(shè)其方程為y=k(x-1)(k≠0),
代入C1的方程,整理得
(k2+2)x2-2k2x+k2-2=0.(*)
設(shè)點(diǎn)P(xp,yp),
∵直線l過點(diǎn)B(1,0),
∴x=1是方程(*)的一個(gè)根,
由求根公式,得xp=$\frac{{k}^{2}-2}{{k}^{2}+2}$,從而yp=$\frac{-4k}{{k}^{2}+2}$,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為($\frac{{k}^{2}-2}{{k}^{2}+2},\frac{-4k}{{k}^{2}+2}$).

同理,由$\left\{\begin{array}{l}{y=k(x-1),k≠0}\\{y=-{x}^{2}+1}\end{array}\right.$,得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-k-1,-k2-2k),
∴$\overrightarrow{AP}$=($\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}+2}$,$\frac{-4k}{{k}^{2}+2}$),$\overrightarrow{AQ}$=(-k,-k2-2k),
∵AP⊥AQ,∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}$=0,
即$\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}+2}•(-k)+\frac{-4k}{{k}^{2}+2}•(-{k}^{2}-2k)$=0,
∵k≠0,∴-k+2(k+2)=0,解得k=-4.
∴直線l的方程為y=-4(x-1).

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法,考查直線方程的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意橢圓性質(zhì)、韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用.

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