Question

16．已知a=$\frac{1}{2}$${∫}_{1}^{2}$$\frac{1}{x}$dx，b=$\frac{1}{3}$${∫}_{1}^{3}$$\frac{1}{x}$dx，c=$\frac{1}{5}$${∫}_{1}^{5}$$\frac{1}{x}$dx，則a，b，c的大小關(guān)系為c＜a＜b．

Answer 1

分析 求定積分可得a=$\frac{ln2}{2}$，b=$\frac{ln3}{3}$，c=$\frac{ln5}{5}$，作差由對(duì)數(shù)的性質(zhì)可得．

解答 解：計(jì)算可得a=$\frac{1}{2}$${∫}_{1}^{2}$$\frac{1}{x}$dx=$\frac{1}{2}$lnx${|}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}$（ln2-ln1）=$\frac{ln2}{2}$；
b=$\frac{1}{3}$${∫}_{1}^{3}$$\frac{1}{x}$dx=$\frac{1}{3}$lnx${|}_{1}^{3}$=$\frac{1}{3}$（ln3-ln1）=$\frac{ln3}{3}$；
c=$\frac{1}{5}$${∫}_{1}^{5}$$\frac{1}{x}$dx=$\frac{1}{5}$lnx${|}_{1}^{5}$=$\frac{1}{3}$（ln5-ln1）=$\frac{ln5}{5}$；
作差可得$\frac{ln2}{2}$-$\frac{ln3}{3}$=$\frac{3ln2-2ln3}{6}$=$\frac{1}{6}$（ln8-ln9）＜0，∴$\frac{ln2}{2}$＜$\frac{ln3}{3}$，
同理由$\frac{ln5}{5}$-$\frac{ln2}{2}$=$\frac{1}{10}$（2ln5-5ln2）=$\frac{1}{10}$（ln25-ln32）＜0可得$\frac{ln5}{5}$＜$\frac{ln2}{2}$，
∴$\frac{ln5}{5}$＜$\frac{ln2}{2}$＜$\frac{ln3}{3}$，即c＜a＜b
故答案為：c＜a＜b

點(diǎn)評(píng) 本題考查定積分的計(jì)算，涉及對(duì)數(shù)的運(yùn)算和作差法比較大小，屬中檔題．