Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2（a+1）x（x∈[-5，5]），求：
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)的最大值；
（2）若f（x）在（3，5）上為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）若f（x）＞2x，在（3，5）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）將a=1代入，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分析函數(shù)f（x）在[-5，5]上的單調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)的最小值；
（2）若f（x）在（3，5）上為增函數(shù)，在區(qū)間（3，5）在函數(shù)圖象對(duì)稱軸的右側(cè)，由此構(gòu)造關(guān)于a的不等式，解得a的取值范圍；
（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a＞-

x

2

在（3，5）恒成立，從而求出a的范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²+4x的圖象開口朝上，且以直線x=-2為對(duì)稱軸，
故f（x）在[-5，-2]上為減函數(shù)，在[-2，5]上為增函數(shù)，
故當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)取最小值-4；
（2）函數(shù)f（x）=x²+2（a+1）x的圖象開口朝上，且以直線x=-（a+1）為對(duì)稱軸，
若f（x）在（3，5）上為增函數(shù)，
則-（a+1）≤3，
解得：a≥-4；
（3）若f（x）＞2x在（3，5）恒成立，
?x²+2ax＞0在（3，5）恒成立，
?a＞-

x

2

在（3，5）恒成立，
?a＞-

3

2

．
從而a的范圍是（-

3

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．