Question

7．求函數(shù)值域：
（1）y=$\frac{2x}{5x+1}$；
（2）y=2x+1-$\sqrt{7-4x}$．

Answer 1

分析 （1）可將原函數(shù)變成y=$\frac{2}{5}-\frac{2}{5（5x+1）}$，這樣便可看出y$≠\frac{2}{5}$，這便得出了原函數(shù)的值域；
（2）通過移項，再兩邊平方便可由原函數(shù)得到4x²+4（2-y）x+y²-2y-6=0，看成關(guān)于x的一元二次方程，方程有解，從而有△≥0，解不等式即可得出原函數(shù)的值域．

解答 解：（1）y=$\frac{2x}{5x+1}=\frac{\frac{2}{5}（5x+1）-\frac{2}{5}}{5x+1}=\frac{2}{5}-\frac{2}{5（5x+1）}$；
∵$\frac{2}{5（5x+1）}≠0$；
∴$y≠\frac{2}{5}$；
∴原函數(shù)的值域為{y|y$≠\frac{2}{5}$}；
（2）將原函數(shù)變成$y-2x-1=-\sqrt{7-4x}$，兩邊平方并整理得：
4x²+（8-4y）x+y²-2y-6=0，可將該式看成關(guān)于x的一元二次方程，方程有解；
∴△=（8-4y）²-16（y²-2y-6）≥0；
解得y≤5；
∴原函數(shù)的值域為（-∞，5]．

點評 考查函數(shù)值域的概念，分離常數(shù)求函數(shù)值域的方法，帶根號函數(shù)的處理方法：兩邊平方去根號，以及一元二次方程有解時判別式△的取值情況．