Question

6．已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₂=3，a₅=6，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列且公比q=2，S₄=15
（1）求通項公式a_n，b_n
（2）設(shè){a_n}的前n項和為S_n，證明：數(shù)列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$是等差數(shù)列
（3）設(shè)數(shù)列$\left\{{\frac{S_n}{n}•{b_n}}\right\}$的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)數(shù)列{a_n}的首項為a₁公差為d，從而可得a_n=n+1；設(shè)數(shù)列{b_n}的首項為b₁，從而可得${S_4}=\frac{{{b_1}（1-{2^4}）}}{1-2}=15$，從而解得；
（2）由（1）知${s_n}=\frac{n（n+3）}{2}$，從而利用定義證明；
（3）由（2）知，$\frac{s_n}{n}=2+（n-1）•\frac{1}{2}$，從而可得$\frac{s_n}{n}•{b_n}=\frac{n+3}{2}•{2^{n-1}}=（n+3）•{2^{n-2}}$，故利用錯位相減法求解即可．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的首項為a₁公差為d，
∵a₅=a₂+3d，∴d=1，a₁=2；
∴a_n=n+1；
設(shè)數(shù)列{b_n}的首項為b₁，
∵${S_4}=\frac{{{b_1}（1-{q^4}）}}{1-q}=15$，
即${S_4}=\frac{{{b_1}（1-{2^4}）}}{1-2}=15$，
解得b₁=1；
故${b_n}={2^{n-1}}$．
（2）證明：由（1）知，${s_n}=\frac{n（n+3）}{2}$，
∴$\frac{s_n}{n}-\frac{{{s_{n-1}}}}{n-1}=\frac{n+3}{2}-\frac{n+2}{2}=\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$是以2為首項，以$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列．
（3）由（2）知，$\frac{s_n}{n}=2+（n-1）•\frac{1}{2}$，
即，$\frac{s_n}{n}=\frac{n+3}{2}$；
∴$\frac{s_n}{n}•{b_n}=\frac{n+3}{2}•{2^{n-1}}=（n+3）•{2^{n-2}}$，
∴T_n=4•2^-1+5•2⁰+6•2¹+…+（n+3）2^n-2；
2T_n=4•2⁰+5•2¹+6•2²+…+（n+3）2^n-1；
兩式相減可得，
-T_n=2+（2⁰+2¹+…+2^n-2）-（n+3）2^n-1
=2+2^n-1-1-（n+3）2^n-1
=-（n+2）2^n-1+1；
∴T_n=（n+2）2^n-1-1．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的應(yīng)用及錯位相減法的應(yīng)用，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想應(yīng)用．