Question

下列命題：
（1）函數(shù)y=

1

x

+x（x＜0）的值域是（-∞，-2]；
（2）函數(shù)y=x²+2+

1

x2+2

最小值是2；
（3）若a，b同號(hào)且a≠b，則

a

b

+

b

a

≥2．
其中正確的命題是（　�。�

• A、（1）（2）（3）
• B、（1）（2）
• C、（2）（3）
• D、（1）（3）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：利用基本不等式求最值說(shuō)明（1）正確；利用“對(duì)勾函數(shù)”的單調(diào)性求得函數(shù)y=x²+2+

1

x2+2

的最小值說(shuō)明（2）錯(cuò)誤；由基本不等式求最值結(jié)合復(fù)合命題的真值表說(shuō)明（3）正確．

解答： 解：對(duì)于（1），∵x＜0，
∴y=

1

x

+x=-（-x+

1

-x

）≤-2

(-x)• 1 -x

=-2．
即函數(shù)y=

1

x

+x（x＜0）的值域是（-∞，-2]．命題（1）正確；
對(duì)于（2），令t=x²+2≥2．
∴y=x²+2+

1

x2+2

=t+

1

t

在[2，+∞）上為增函數(shù)，
∴ymin=2+

1

2

=

5

2

．命題（2）錯(cuò)誤；
對(duì)于（3），∵a，b同號(hào)，
∴

a

b

＞0，
則

a

b

+

b

a

≥2

a b • b a

=2．
∵a≠b，
∴

a

b

+

b

a

＞2．
由復(fù)合命題的真值表可知，

a

b

+

b

a

≥2．命題③正確．
∴正確的命題是（1）（3）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了利用基本不等式求最值，是中檔題．