Question

1．已知圓O：x²+y²=4．
（Ⅰ）直線l₁過點(diǎn)P（1，2），且與圓O于A、B兩點(diǎn)，若AB=2$\sqrt{3}$，求直線l₁的方程；
（2）設(shè)圓O與x軸相交于P，Q兩點(diǎn)，M是圓O上異于P，Q的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A（4，0）且與x軸垂直的直線l₂，直線PM交直線l₂于點(diǎn)P，直線OM交直線l₂于點(diǎn)Q，以PQ為直徑的圓總過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由題意，圓心到直線的距離d=$\sqrt{4-3}$=1，分類討論，圓心到直線的距離等于半徑，可以求出k值，進(jìn)而得到直線l₁的方程；
（2）由已知我們易求出P，Q兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，我們可以得到點(diǎn)P′與Q′的坐標(biāo)（含參數(shù)），進(jìn)而得到以P′Q′為直徑的圓的方程，根據(jù)圓的方程即可判斷結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，圓心到直線的距離d=$\sqrt{4-3}$=1，
斜率不存在時(shí)，x=1滿足題意；
斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，
∴點(diǎn)O（0，0）到直線l₁的距離為$\frac{|-k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=$\frac{3}{4}$，
∴直線l₁的方程為3x-4y+5=0，
綜上所述直線l₁的方程為3x-4y+5=0或x=1；
（2）對(duì)于圓O的方程x²+y²=4，P（-2，0），Q（2，0）．
又直線l₂方程為x=4，設(shè)M（s，t），則直線PM方程為y=$\frac{t}{s+2}$（x+2）．
方程聯(lián)立，得P′（4，$\frac{6t}{s+2}$），
同理可得：Q′（4，$\frac{2t}{s-2}$），
所以圓C的圓心C的坐標(biāo)為（4，$\frac{4st-4t}{{s}^{2}-4}$），半徑長(zhǎng)為|$\frac{8t-2st}{{s}^{2}-4}$|，
又點(diǎn)M（s，t）在圓上，又s²+t²=4．故圓心C為（4，$\frac{4s-4}{t}$），半徑長(zhǎng)|$\frac{8-2s}{t}$|．
所以圓C的方程為（x-4）²+（y-$\frac{4s-4}{t}$）²=|$\frac{8-2s}{t}$|²．
令y=0，則（x-4）²=12，
所以x=4±2$\sqrt{3}$，
所以圓C經(jīng)過定點(diǎn)且定點(diǎn)坐標(biāo)為（4±2$\sqrt{3}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)是直線和圓的方程的應(yīng)用，其中熟練掌握直線與圓不同位置關(guān)系時(shí)，點(diǎn)到直線的距離與半徑的關(guān)系，弦長(zhǎng)公式等是解答本題的關(guān)鍵．