Question

7．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$=2，數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1-b_n=$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$，（以上n∈N^*），則{b_n}的通項(xiàng)公式是2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$=2，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：a_n=2^n-1．由b_n+1-b_n=$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$=2，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2．
∴a_n=2^n-1．
∴b_n+1-b_n=$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$+…+$\frac{1}{2}$+1
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
故答案為：2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“累加求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．