Question

7．若對(duì)?a∈[$\frac{1}{{e}^{2}}$，1]，?b∈[-1，1]，使λ+alna=2b²e^b（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{1}{e}$，2e]
• B． [$\frac{1}{e}$，$\frac{2}{e}$]
• C． [$\frac{3}{e}$，2e]
• D． [$\frac{3}{e}$，$\frac{8}{{e}^{2}}$]

Answer 1

分析 令f（x）=xlnx，x∈[$\frac{1}{{e}^{2}}$，1]，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得值域．令g（x）=2x²e^x，x∈[-1，1]，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得值域．根據(jù)對(duì)?a∈[$\frac{1}{{e}^{2}}$，1]，?b∈[-1，1]，使λ+alna=2b²e^b（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），即可得出．

解答 解：令f（x）=xlnx，x∈[$\frac{1}{{e}^{2}}$，1]，
f′（x）=1+lnx，令f′（x）=1+lnx=0，解得x=$\frac{1}{e}$．
∴函數(shù)f（x）在$[\frac{1}{{e}^{2}}，\frac{1}{e}]$內(nèi)單調(diào)遞減，在$（\frac{1}{e}，1]$內(nèi)單調(diào)遞增．
∴f（x）_min=$f（\frac{1}{e}）$=-$\frac{1}{e}$，
又$f（\frac{1}{{e}^{2}}）$=-$\frac{2}{{e}^{2}}$，f（1）=0，∴f（x）_max=f（1）=0．
∴f（x）∈$[-\frac{1}{e}，0]$．
令g（x）=2x²e^x，x∈[-1，1]，
g′（x）=2x（x+2）e^x，
∴函數(shù)g（x）在[-1，0）上單調(diào)遞減，在（0，1]上單調(diào)遞增．
∴g（x）_min=g（0）=0．又g（-1）=$\frac{2}{e}$，g（1）=2e，∴g（x）的最大值為2e．
∴g（x）∈$[\frac{2}{e}，2e]$．
∴$[λ-\frac{1}{e}，λ]$=$[\frac{2}{e}，2e]$．
解得λ∈$[\frac{3}{e}，2e]$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．