Question

13．已知f（x）=e^x-ax-b，a，b∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的圖象在坐標原點處的切線是x軸，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）≥0對x∈R恒成立，求ab的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，可得a=1，b=1，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；由導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（Ⅱ）f（x）≥0恒成立，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分別討論a=0，a＜0，a＞0的情況，從而得出ab的最大值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=e^x-ax-b的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x-a，
在坐標原點處的切線是x軸，即有1-a=0，解得a=1，
由e⁰-0-b=0，解得b=1，
由f′（x）＞0解得x＞0；由f′（x）＜0解得x＜0．
可得增區(qū)間為（0，+∞），減區(qū)間為（-∞，0）；
（Ⅱ）f（x）≥0恒成立?f（x）_min≥0恒成立．
由于f′（x）=e^x-a，
若a=0，則f（x）=e^x-b≥-b≥0，
得b≤0，此時ab=0；
若a＜0，則f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)增，此時f（-∞）→-∞，不可能恒有f（x）≥0．
若a＞0，則得極小值點x=lna，由f（lna）=a-alna-b≥0，得b≤a（1-lna），
ab≤a²（1-lna）=g（a），
現(xiàn)求g（a）的最小值：由g'（a）=2a（1-lna）-a=a（1-2lna）=0，
得極小值點a=$\sqrt{e}$，g（$\sqrt{e}$）=$\frac{e}{2}$，
所以ab的最大值為$\frac{e}{2}$．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了分類討論思想，是一道綜合題．