Question

5．某中學(xué)籃球隊(duì)進(jìn)行了4次體能測(cè)試，規(guī)定：按順序測(cè)試，一旦測(cè)試合格就不必參加以后的測(cè)試，否則4次測(cè)試都要參加；若王浩同學(xué)在4次測(cè)試中每次合格的概率組成一個(gè)公差為$\frac{1}{5}$的等差數(shù)列，他第一次測(cè)試合格的概率不超過(guò)$\frac{1}{2}$，且他直到第二次測(cè)試才合格的概率為$\frac{8}{25}$；
（1）求王浩同學(xué)第一次參加測(cè)試就合格的概率；
（2）求王浩同學(xué)參加測(cè)試的次數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)王浩同學(xué)四次測(cè)試合格的概率依次為$a，a+\frac{1}{5}，a+2×\frac{1}{5}，a+3×\frac{1}{5}（a≤\frac{1}{2}）$，由題設(shè)得到25a²-20a+3=0，由此能求出王浩同學(xué)第一次參加測(cè)試就合格的概率．
（2）由題設(shè)知，X取值為1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）設(shè)王浩同學(xué)四次測(cè)試合格的概率依次為：
$a，a+\frac{1}{5}，a+2×\frac{1}{5}，a+3×\frac{1}{5}（a≤\frac{1}{2}）$，…（2分）
由題設(shè)知，$（1-a）（a+\frac{1}{5}）=\frac{8}{25}$，即25a²-20a+3=0，
解得，$a=\frac{1}{5}或a=\frac{3}{5}＞\frac{1}{2}$（舍去），
故王浩同學(xué)第一次參加測(cè)試就合格的概率為$\frac{1}{5}$．…（6分）
（2）由題設(shè)知，X取值為1，2，3，4，
由（1）知，$P（X=1）=\frac{1}{5}$，
$P（X=2）=\frac{4}{5}×\frac{2}{5}=\frac{8}{25}$，
$P（X=3）=\frac{4}{5}×\frac{3}{5}×\frac{3}{5}=\frac{36}{125}$，
$P（X=4）=1-\frac{1}{5}-\frac{8}{25}-\frac{36}{125}=\frac{24}{125}$，…（10分）
則X的分布列為：

	1	2	3	4
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{8}{25}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{24}{125}$

∴$EX=1×\frac{1}{5}+2×\frac{8}{25}+3×\frac{36}{125}+4×\frac{24}{125}=\frac{309}{125}$，
即王浩同學(xué)參加測(cè)試的次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為$\frac{309}{125}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．