Question

5．（1）求一個焦點為（13，0），且離心率為$\frac{13}{5}$的雙曲線的標準方程；
（2）已知拋物線的焦點在x軸上，拋物線上的點 M（-3，m）到焦點的距離等于5，求拋物線的標準方程和m的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知雙曲線的焦點在x軸上，再由已知求得c、a的值，結合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）由題意設拋物線方程為y²=-2px（p＞0），再由拋物線焦半徑公式求得p，得到拋物線方程，把M的坐標代入拋物線方程求得m值．

解答 解：（1）依題意可知，雙曲線的焦點在x軸上，且c=13，
又$\frac{c}{a}=\frac{13}{5}$，∴a=5，$b=\sqrt{{c^2}-{a^2}}=12$，
故其標準方程為$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{144}=1$；
（2）設拋物線方程為y²=-2px（p＞0），則焦點F（$-\frac{p}{2}$，0），準線方程為$x=\frac{p}{2}$，
根據拋物線的定義，點M到焦點的距離等于5，也就是M到準線的距離為5，則$3+\frac{p}{2}=5$，∴p=4，
因此，拋物線方程為y²=-8x，
又點 M（-3，m）在拋物線上，于是m²=24，∴$m=±2\sqrt{6}$．

點評 本題考查雙曲線及拋物線標準方程的求法，考查利用拋物線定義求標準方程，體現了數學轉化思想方法，是基礎題．