Question

15．某牛奶廠要將一批牛奶用汽車從所在城市甲運(yùn)至城市乙，已知從城市甲到城市乙只有兩條公路，且運(yùn)費(fèi)由廠商承擔(dān)．若廠商恰能在約定日期（×月×日）將牛奶送到，則城市乙的銷售商一次性支付給牛奶廠20萬(wàn)元；若在約定日期前送到，每提前一天銷售商將多支付給牛奶廠1萬(wàn)元；若在約定日期后送到，每遲到一天銷售商將少支付給牛奶廠1萬(wàn)元．為保證牛奶新鮮度，汽車只能在約定日期的前兩天出發(fā)，且只能選擇其中的一條公路運(yùn)送牛奶，已知下表內(nèi)的信息：

統(tǒng)計(jì)信息	在不堵車的情況下到達(dá)城市乙所需時(shí)間（天）	在堵車的情況下到達(dá)城市乙所需時(shí)間（天）	堵車的概率	運(yùn)費(fèi)（萬(wàn)元）
公路1	2	3	$\frac{1}{10}$	1.6
公路2	1	4	$\frac{1}{2}$	0.8

（Ⅰ）記汽車選擇公路1運(yùn)送牛奶時(shí)牛奶廠獲得的毛收入為ξ（單位：萬(wàn)元），求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）；
（Ⅱ）如果你是牛奶廠的決策者，你選擇哪條公路運(yùn)送牛奶有可能讓牛奶廠獲得的毛收入更多？
（注：毛收入=銷售商支付給牛奶廠的費(fèi)用-運(yùn)費(fèi)）

Answer 1

分析 （I）若汽車走公路1．求出不堵車時(shí)牛奶廠獲得的毛收入ξ，堵車時(shí)牛奶廠獲得的毛收入ξ，得到汽車走公路1時(shí)牛奶廠獲得的毛收入ξ的分布列．求出期望．
（II）設(shè)汽車走公路2時(shí)牛奶廠獲得的毛收入為η，不堵車時(shí)牛奶廠獲得的毛收入η，堵車時(shí)牛奶廠獲得的毛收入η，得到汽車走公路2時(shí)牛奶廠獲得的毛收入η的分布列，然后求出期望．推出結(jié)果．

解答 解：（I）若汽車走公路1．
不堵車時(shí)牛奶廠獲得的毛收入ξ=20-1.6=18.4（萬(wàn)元）；
堵車時(shí)牛奶廠獲得的毛收入ξ=20-1.6-1=17.4（萬(wàn)元）．…（2分）
∴汽車走公路1時(shí)牛奶廠獲得的毛收入ξ的分布列為

ξ	18.4	17.4
P	$\frac{9}{10}$	$\frac{1}{10}$

E（ξ）=18.4×$\frac{9}{10}$+17.4×$\frac{1}{10}$=18.3（萬(wàn)元）．…（5分）
（II）設(shè)汽車走公路2時(shí)牛奶廠獲得的毛收入為η，則
不堵車時(shí)牛奶廠獲得的毛收入η=20-0.8+1=20.2（萬(wàn)元）；
堵車時(shí)牛奶廠獲得的毛收入η=20-0.8-2=17.2（萬(wàn)元）．  …（7分）
∴汽車走公路2時(shí)牛奶廠獲得的毛收入η的分布列為

η	20.2	17.2
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$

E（η）=20.2×$\frac{1}{2}$+17.2×$\frac{1}{2}$=18.7（萬(wàn)元）． …（10分）
∵E（ξ）＜E（η），
∴選擇公路2運(yùn)送牛奶有可能讓牛奶廠獲得的毛收入更多． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列，期望的求法，考查計(jì)算能力．