Question

18．若不等式e${\;}^{\frac{x}{a}}$＞x，對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（0，e）．

Answer 1

分析 結合指數(shù)函數(shù)的性質，利用分類參數(shù)法進行求解，構造函數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)的最值即可．

解答 解：當a＜0時，函數(shù)y=e${\;}^{\frac{x}{a}}$是減函數(shù)，此時不等式e${\;}^{\frac{x}{a}}$＞x不能恒成立，
則必有a＞0，
當x≤0時，不等式恒成立，
當0＜x≤1時，y=e${\;}^{\frac{x}{a}}$＞1，此時不等式e${\;}^{\frac{x}{a}}$＞x恒成立，
當x＞1時，不等式e${\;}^{\frac{x}{a}}$＞x等價$\frac{x}{a}＞lnx$，
即a$＜\frac{x}{lnx}$，
設f（x）=$\frac{x}{lnx}$，x＞1，
則f′（x）=$\frac{lnx-x•\frac{1}{x}}{（lnx）^{2}}=\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$，
由f′（x）＞0得lnx＞1，即x＞e，
由f′（x）＜0得lnx＜1，即1＜x＜e，
即當x=e時，函數(shù)取得極小值同時也是最小值f（e）=$\frac{e}{lne}=e$，
則0＜a＜e，
故實數(shù)a的取值范圍是（0，e），
故答案為：（0，e）

點評 本題主要考查函數(shù)最大的求解，利用參數(shù)分離法，構造函數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)的最值是解決本題的關鍵．注意要對a進行分類討論．