Question

10．設(shè)等比數(shù)列{a_n}的a₃+a₅=30，且a₁a₇=81，求通項(xiàng)a_n．

Answer 1

分析 設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比是q，由等比數(shù)列的性質(zhì)得a₁a₇=a₃a₅，結(jié)合條件求出a₃、a₅的值，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出q²、a₁，再分別求出a_n．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比是q，
由等比數(shù)列的性質(zhì)得，a₁a₇=a₃a₅=81，
因?yàn)閍₃+a₅=30，所以a₃、a₅是方程x²-30x+81=0的兩個(gè)根，
解得a₃=3、a₅=27或a₃=27、a₅=3，
所以q²=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{3}}$=9或$\frac{1}{9}$，解得q=±3或±$\frac{1}{3}$，
由a₃=a₁q²=3得，a₁=$\frac{1}{3}$或27，
所以a_n=$\frac{1}{3}•{3}^{n-1}$=3^n-2或$\frac{1}{3}•{（-3）}^{n-1}$=（-1）^n-1•3^n-2，
或a_n=27•$\frac{1}{{3}^{n-1}}$=$\frac{1}{{3}^{n-4}}$或27•$\frac{1}{{（-3）}^{n-1}}$=$\frac{（-1）^{n-1}}{{3}^{n-4}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)的應(yīng)用，以及分類討論思想，化簡(jiǎn)、計(jì)算能力．