Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²-a²x+m（a＞0）
（1）若a=1時(shí)函數(shù)f（x）有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若對(duì)任意的a∈[3，6]，x∈[-2，2]，不等式f（x）≤1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x³+x²-x+m，化為m=-x³-x²+x有三個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)根，求導(dǎo)確定單調(diào)性并求極值，由極值求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）求導(dǎo)，確定函數(shù)f（x）=x³+ax²-a²x+m在[-2，2]上的最大值，不等式f（x）≤1恒成立可化為-8+4a+2a²+m≤1，從而求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x³+x²-x+m，
因?yàn)閒（x）有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)，所以f（x）=x³+x²-x+m=0，
即m=-x³-x²+x有三個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)根，
令g（x）=-x³-x²+x，則g′（x）=-3x²-2x+1=-（3x-1）（x+1），
易知g（x）在（-∞，-1）和（

1

3

，+∞）上為減函數(shù)，在（-1，

1

3

）為增函數(shù)，
則g（x）的極小值：g（-1）=-1g（x）的極大值：g（

1

3

）=

5

27

，
則-1＜m＜

5

27

．
（2）∵f′（x）=3x²+2ax-a²=3（x-

a

3

）（x+a），且a＞0，
∴函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間為（-a，

a

3

），遞增區(qū)間為（-∞，-a）和（

a

3

，+∞）；
當(dāng)a∈[3，6]時(shí)，

a

3

∈[1，2]，-a≤-3又x∈[-2，2]，
∵f（-2）-f（2）=4a²-16＞0，
∴f_max（x）=f（-2）=-8+4a+2a²+m，
又∵f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，
∴f_max（x）≤1，
即-8+4a+2a²+m≤1，
即m≤-2a²-4a+9在a∈[3，6]恒成立，
∴m≤-87．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．