Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（1，$\sqrt{3}$）．
（Ⅰ）求向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角；
（Ⅱ）試確定k的值，使k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$垂直．

Answer 1

分析 （I）設(shè)向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，利用cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$即可得出．
（II）由k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$垂直．（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）=$k{\overrightarrow{a}}^{2}+（1-2k）\overrightarrow{a}•\overrightarrow-2{\overrightarrow}^{2}$=0，代入解出即可．

解答 解：（I）設(shè)向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1，$|\overrightarrow{a}|$=1，$|\overrightarrow|$=2，∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{1}{1×2}$=$\frac{1}{2}$，∴θ=$\frac{π}{3}$．
（II）由k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$垂直．∴（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）=$k{\overrightarrow{a}}^{2}+（1-2k）\overrightarrow{a}•\overrightarrow-2{\overrightarrow}^{2}$=0，∴k+（1-2k）-2×2²=0，
解得k=-7．∴當(dāng)k=-7時，使k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$垂直．

點(diǎn)評 本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、向量夾角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．