Question

18．己知函數(shù)f（x）=$\frac{2}{{2}^{x}+1}$+a是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）解不等式：f（2x²-1）+f（x+1）＜0．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)為奇函數(shù)，在x=0有意義，則f（0）=0求a；
（2）利用函數(shù)是奇函數(shù)，并且判定它的單調(diào)性，得到自變量的關(guān)系求解．

解答 解：（1）因為函數(shù)f（x）=$\frac{2}{{2}^{x}+1}$+a是奇函數(shù)，并且定義域為R，所以f（0）=0，即1+a=0，所以a=-1．
（2）f（2x²-1）+f（x+1）＜0．所以f（2x²-1）＜-f（x+1）．
由（1）得函數(shù)f（x）=$\frac{2}{{2}^{x}+1}$+1是奇函數(shù)，所以f（2x²-1）＜f（-x-1）．
又因為函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，所以2x²-1＞-x-1，即2x²+x＞0，
解得x＞0或x＜-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)以及利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式；關(guān)鍵是利用函數(shù)的性質(zhì)將所求轉(zhuǎn)化為自變量的關(guān)系．